518. В треугольнике ABC ∠C = 90°. Докажите, что:

Решение:

Дано: Треугольник ABC, \( \breve{C} = 90° \).

1) Прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C.

Условие: Окружность с центром A проходит через точку C. Это означает, что AC является радиусом этой окружности.

Доказательство:

1. Радиус окружности с центром A, проходящей через C, равен AC.
2. Прямая BC перпендикулярна радиусу AC в точке C (по условию, \( \breve{C} = 90° \) в треугольнике ABC, что означает, что угол между AC и BC равен 90°).
3. По признаку касательной, если прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку окружности, то эта прямая является касательной к окружности.
4. Следовательно, прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C.

2) Прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.

Условие: Окружность с центром C проходит через точку A. Это означает, что CA (или AC) является радиусом этой окружности.

Доказательство:

1. Радиус окружности с центром C, проходящей через A, равен AC.
2. Чтобы прямая AB была касательной к этой окружности, она должна быть перпендикулярна радиусу AC в точке A.
3. Однако, в треугольнике ABC \( \breve{A} \) не обязательно равен 90°. Если \( \breve{A} \) не равен 90°, то прямая AB не перпендикулярна радиусу AC.
4. Кроме того, точка B лежит на прямой AB. Расстояние от центра C до точки B равно CB. Если CB = AC (радиусу), то B будет лежать на окружности. Если CB > AC, то B будет вне окружности. Если CB < AC, то B будет внутри окружности.
5. Более точное рассуждение:
   Окружность с центром C и радиусом CA проходит через точку A.
   Чтобы прямая AB была касательной к этой окружности, она должна быть перпендикулярна радиусу CA в точке A. Это означает, что \( \breve{CAB} = 90° \).
   Но в прямоугольном треугольнике ABC \( \breve{C} = 90° \), и \( \breve{A} + \breve{B} = 90° \).
   Угол \( \breve{A} \) не равен 90° (кроме вырожденного случая, когда B совпадает с C, что невозможно для треугольника).
   Следовательно, прямая AB не перпендикулярна радиусу CA в точке A.
6. Вывод: Поскольку прямая AB не перпендикулярна радиусу CA, проведенному в точку A, прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.