5. В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 6, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны.

Основания: \( a = 6 \) (большее), \( b = 2 \) (меньшее).

Угол между боковой стороной и основанием равен \( 45^{\circ} \).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( h \) — высота трапеции.

Проведем высоты из вершин меньшего основания (B и C) на большее основание (AD). Пусть это будут BH и CK.

Тогда ABCH — прямоугольник, и \( HK = BC = 2 \).

В равнобедренной трапеции отрезки AH и KD равны:

\( AH = KD = \frac{AD - HK}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол \( \angle BAH = 45^{\circ} \).

Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \), то \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный прямоугольный треугольник, где \( AH = BH \).

Высота трапеции \( h = BH = AH = 2 \).

Теперь вычислим площадь трапеции:

\( S = \frac{6+2}{2} \cdot 2 = \frac{8}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8 \).

Ответ: 8