5. Решите уравнение: 1) \(\sqrt{x-8}+3\sqrt[4]{x-8}=18\); 2) \(\sqrt{2x+3}-\sqrt{4-x}=2\); 3) \(\sqrt[3]{6-x}+\sqrt[3]{29+x}=5\).

1) Пусть \(t=\sqrt[4]{x-8}\), где \(t\geq0\). Тогда \(\sqrt{x-8}=t^2\), и уравнение становится \(t^2+3t=18\), то есть \((t-3)(t+6)=0\). С учётом \(t\geq0\), \(t=3\), поэтому \(x-8=3^4=81\), откуда \(x=89\).

2) Область определения: \(-\frac32\leq x\leq4\). Перенесём второй корень: \(\sqrt{2x+3}=2+\sqrt{4-x}\), затем возведём в квадрат: \(3x-5=4\sqrt{4-x}\). Отсюда необходимо \(x\geq\frac53\). Повторное возведение в квадрат даёт \(9x^2-14x-39=0\), корни \(3\) и \(-\frac{13}{9}\). Ограничению удовлетворяет только \(3\); подстановка в исходное уравнение подтверждает корень.

3) Обозначим \(u=\sqrt[3]{6-x}\), \(v=\sqrt[3]{29+x}\). Тогда \(u+v=5\), а \(u^3+v^3=35\). По формуле \((u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)\) получаем \(125=35+15uv\), значит, \(uv=6\). Поэтому \(u,v\) — корни уравнения \(z^2-5z+6=0\), то есть пара \((2,3)\) или \((3,2)\). Из \(u^3=6-x\) получаем соответственно \(x=-2\) или \(x=-21\). Оба значения подходят.

Ответ: 1) \(89\); 2) \(3\); 3) \(-2\), \(-21\).