№5. Камень массой 1 кг брошен вертикально вверх с начальной скоростью 4 м/с. На сколько увеличится потенциальная энергия камня от начала движения к тому времени, когда скорость камня уменьшится до 2 м/с? (Ответ дайте в джоулях.)

Решение:

Потенциальная энергия камня изменяется за счет изменения его высоты. Изменение высоты можно найти, используя закон сохранения механической энергии или кинематические уравнения.

Используем закон сохранения энергии. Начальная энергия = Конечная энергия.

\( E_{нач} = E_{k, нач} + E_{p, нач} \)

\( E_{кон} = E_{k, кон} + E_{p, кон} \)

Примем начальную высоту \( h_1 = 0 \), тогда \( E_{p, нач} = 0 \).

\[ E_{k, нач} = \frac{1}{2}mv_1^2 \]

\[ E_{k, кон} = \frac{1}{2}mv_2^2 \]

\[ E_{p, кон} = mgh_2 \]

По закону сохранения энергии: \( E_{k, нач} = E_{k, кон} + E_{p, кон} \)

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgh_2 \]

Разделим на \( m \):

\[ \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{1}{2}v_2^2 + gh_2 \]

Найдем высоту \( h_2 \):

\[ gh_2 = \frac{1}{2}(v_1^2 - v_2^2) \]

\[ h_2 = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2g} \]

Подставим значения: \( v_1 = 4 \text{ м/с} \), \( v_2 = 2 \text{ м/с} \), \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) (принимаем ускорение свободного падения равным 10 м/с² для удобства расчетов).

\[ h_2 = \frac{(4 \text{ м/с})^2 - (2 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{16 - 4}{20} = \frac{12}{20} = 0,6 \text{ м} \]

Увеличение потенциальной энергии:

\[ \Delta E_p = E_{p, кон} - E_{p, нач} = mgh_2 - 0 = 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,6 \text{ м} = 6 \text{ Дж} \]

Ответ: 6 Дж