5 Из девятнадцати первокурсников нужно выбрать четырех для участия в городском дне первокурсника. Сколько вариантов выбора существует?

Решение:

Нам нужно выбрать 4 первокурсников из 19. Поскольку порядок выбора не имеет значения (важно только, кто войдёт в четвёрку), мы используем формулу для сочетаний.

Формула сочетаний:

$$C_n^k = rac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где:

• $$n$$ — общее количество первокурсников (19)
• $$k$$ — количество выбираемых первокурсников (4)

Подставляем значения:

$$C_{19}^4 = rac{19!}{4!(19-4)!} = rac{19!}{4!15!}$$

Раскроем факториалы:

$$C_{19}^4 = rac{19 imes 18 imes 17 imes 16 imes 15!}{ (4 imes 3 imes 2 imes 1) imes 15! }$$

Сократим $$15!$$:

$$C_{19}^4 = rac{19 imes 18 imes 17 imes 16}{4 imes 3 imes 2 imes 1}$$

Вычислим:

$$C_{19}^4 = rac{19 imes (3 imes 6) imes 17 imes (2 imes 8)}{4 imes 3 imes 2 imes 1}$$

Сократим:

$$C_{19}^4 = 19 imes 3 imes 17 imes 2 = 3876$$

Ответ: 3876