5 Из девятнадцати первокурсников нужно выбрать четырех для участия в городском дне первокурсника. Сколько вариантов выбора существует?

Решение:

Нам нужно выбрать 4 первокурсников из 19. Поскольку порядок выбора не имеет значения (важно только, кто войдёт в четвёрку), мы используем формулу для сочетаний.

Формула сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Где:

• $$n$$ — общее количество первокурсников (19)
• $$k$$ — количество выбираемых первокурсников (4)

Подставляем значения:

$$C_{19}^4 = \frac{19!}{4!(19-4)!} = \frac{19!}{4!15!}$$

Раскроем факториалы:

$$C_{19}^4 = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{ (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 15! }$$

Сократим $$15!$$:

$$C_{19}^4 = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

Вычислим:

$$C_{19}^4 = \frac{19 \times (3 \times 6) \times 17 \times (2 \times 8)}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$$

Сократим:

$$C_{19}^4 = 19 \times 3 \times 17 \times 2 = 3876$$

Ответ: 3876