5. ABCD — параллелограмм. Точки E и P лежат на диагонали AC, причём BE ⟂ AC и DP ⟂ AC. Доказать: AP = CE.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABP и CDE.

∠APB = ∠CED = 90°.

AB = CD, так как противоположные стороны параллелограмма равны.

Кроме того, AB ∥ CD, а AP и CE лежат на одной прямой AC, поэтому ∠BAP = ∠DCE.

Следовательно, прямоугольные треугольники ABP и CDE равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства соответствующих катетов получаем:

AP = CE.