43. Периметр равнобедренного треугольника равен 36, а боковая сторона — 13. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Периметр равнобедренного треугольника \( P = 2a + b \), где \( a \) — боковая сторона, \( b \) — основание.

Дано: \( P = 36 \), \( a = 13 \).

Найдем основание \( b \):

\[ 36 = 2 \cdot 13 + b \]

\[ 36 = 26 + b \]

\[ b = 36 - 26 = 10 \]

Теперь найдем высоту \( h \), опущенную на основание. Высота делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с катетами \( \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) и \( h \), и гипотенузой \( a = 13 \).

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + 5^2 = 13^2 \]

\[ h^2 + 25 = 169 \]

\[ h^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ h = \sqrt{144} = 12 \]

Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 5 \cdot 12 = 60 \]

Ответ: 60