42. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 44, основание — 4√3, а угол, лежащий против основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника. В ответе запишите площадь, делённую на √3.

Решение:

В равнобедренном треугольнике боковые стороны \( a = 44 \), основание \( b = 4\sqrt{3} \), угол при вершине \( \alpha = 120^{\circ} \).

Площадь треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma} \), где \( \gamma \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \). В нашем случае, удобнее использовать формулу, где известны две стороны и угол между ними, или формулу через основание и высоту.

Используем формулу площади через две стороны и угол между ними: \( S = \frac{1}{2} a \cdot a \sin{\alpha} \).

Здесь \( a=44 \) и \( \alpha=120^{\circ} \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot 44 \cdot \sin{120^{\circ}} \]

Значение \( \sin{120^{\circ}} = \sin{(180^{\circ}-60^{\circ})} = \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 44 \cdot 44 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 22 \cdot 44 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 11 \cdot 44 \cdot \sqrt{3} = 484 \sqrt{3} \]

По условию нужно найти площадь, делённую на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{484 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 484 \]

Примечание: Данные о основании \( 4\sqrt{3} \) не используются при расчете площади этим методом. Проверим, соответствует ли основание боковым сторонам и углу. По теореме косинусов:

\[ b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos{\alpha} \]

\[ b^2 = 2a^2 (1 - \cos{\alpha}) \]

\[ b^2 = 2 \cdot 44^2 (1 - \cos{120^{\circ}}) \]

\[ b^2 = 2 \cdot 1936 (1 - (-\frac{1}{2})) = 2 \cdot 1936 \cdot \frac{3}{2} = 1936 \cdot 3 = 5808 \]

\[ b = \sqrt{5808} = \sqrt{1936 \cdot 3} = 44 \sqrt{3} \]

Таким образом, данное в условии основание \( 4\sqrt{3} \) противоречит остальным данным (боковая сторона 44 и угол 120°). Будем использовать боковую сторону 44 и угол 120° для расчета площади.

Ответ: 484