4. В треугольнике ABC ∠A=120°. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 10 см. Найдите расстояние от центра этой окружности до вершины А.

Решение:

Пусть O — центр вписанной окружности, r — радиус вписанной окружности (r = 10 см). Пусть AD — биссектриса угла A, где D — точка касания окружности со стороной AB.

O лежит на биссектрисе угла A. Угол ∠BAD = \( \frac{\angle A}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADO, где OD — радиус вписанной окружности, перпендикулярный стороне AB. OD = r = 10 см.

В треугольнике ADO:

\( \sin(\angle OAD) = \frac{OD}{AO} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{10}{AO} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{AO} \)

\( AO = \frac{10 2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) см.