3. В треугольнике ABC ∠A=50°, ∠C=70°, O – центр вписанной в треугольник окружности, OB=10 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Сначала найдём угол ∠B в треугольнике ABC.

\( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \)

O — центр вписанной окружности, поэтому OB является биссектрисой угла ∠B.

\( \angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \)

Пусть r — радиус вписанной окружности. Опустим перпендикуляр из O на сторону AB. Этот перпендикуляр равен радиусу r и является катетом прямоугольного треугольника, образованного точкой касания, вершиной B и центром O. В этом треугольнике угол при вершине B равен 30°.

В этом прямоугольном треугольнике (обозначим точку касания как D):

\( \tan(\angle OBA) = \frac{OD}{BD} \)

\( \tan(30^{\circ}) = \frac{r}{BD} \)

\( BD = \frac{r}{\tan(30^{\circ})} = r \sqrt{3} \)

В прямоугольном треугольнике OBD, OB — гипотенуза. Мы знаем, что OB = 10 см.

\( \sin(\angle OBA) = \frac{OD}{OB} \)

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{r}{10} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{r}{10} \)

\( r = 10 \frac{1}{2} = 5 \) см.

Ответ: 5 см.