16. Радиус окружности, вписанной в треугольник равен 8, 4 см. Может ли периметр треугольника быть равным 50 см.?

Решение:

Радиус вписанной окружности \( r = 8.4 \) см.

Периметр треугольника \( P = 50 \) см. Полупериметр \( p = \frac{50}{2} = 25 \) см.

Площадь треугольника \( S = p r = 25 8.4 \) см².

\( S = 25 8.4 = 210 \) см².

Теперь проверим, может ли существовать треугольник с периметром 50 см и площадью 210 см².

Максимальную площадь при заданном периметре имеет равносторонний треугольник.

Если периметр \( P = 50 \) см, то сторона равностороннего треугольника \( a = \frac{50}{3} \) см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

\( S_{max} = \frac{(\frac{50}{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{2500}{9}\sqrt{3}}{4} = \frac{2500\sqrt{3}}{36} = \frac{625\sqrt{3}}{9} \) см².

\( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( S_{max} \approx \frac{625 1.732}{9} \approx \frac{1082.5}{9} \approx 120.28 \) см².

Требуемая площадь (210 см²) больше максимальной возможной площади (приблизительно 120.28 см²) для треугольника с периметром 50 см.

Следовательно, такой треугольник не существует.

Ответ: Нет, не может.