4. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 5°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB\parallel CD\), угол между AC и AB равен \(\angle ACD=5^\circ\). Обозначим этот угол через \(\theta\), а длину AB — через \(b\). Тогда длина AC равна \(2b\).

Диагональ BD задаётся разностью векторов AC и удвоенного вектора AB. Её составляющие вдоль AC и перпендикулярно AC пропорциональны соответственно \(2b(1-\cos\theta)\) и \(2b\sin\theta\). Поэтому для меньшего угла \(\varphi\) между диагоналями:

\(\tan\varphi=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\dfrac{\theta}{2}\), откуда \(\varphi=90^\circ-\dfrac{5^\circ}{2}=87.5^\circ\).

Ответ: 87,5°.