4. Углы треугольника ABC относятся так: ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3. Биссектриса BM угла ABC равна 6. Найдите длину отрезка MC.

Пусть углы равны \(x\), \(2x\), \(3x\). Тогда:

\(6x=180°\), откуда \(x=30°\).

Следовательно, \(\angle A=30°\), \(\angle B=60°\), \(\angle C=90°\). По теореме синусов стороны пропорциональны:

\(BC:AC:AB=1:\sqrt3:2\).

Пусть \(BC=k\), тогда \(AB=2k\). По теореме о биссектрисе:

\(MC=\frac{BC\cdot AB}{BC+AB}=\frac{k\cdot2k}{3k}=\frac{2k}{3}\).

Длина биссектрисы из вершины B:

\(BM=\frac{2k}{\sqrt3}=6\), поэтому \(k=3\sqrt3\).

Тогда:

\(MC=\frac{2\cdot3\sqrt3}{3}=2\sqrt3\).

Ответ: \(2\sqrt3\).