3. Касательная и секущая, проведенные из одной точки, имеют длины 4 и 9. Найдите отрезок секущей, находящийся внутри окружности.

Решение:

• Пусть $$P$$ - точка, из которой проведены касательная и секущая.
• Пусть $$PA$$ - касательная, $$PA = 4$$.
• Пусть $$PB$$ - секущая, $$PB = 9$$. $$B$$ - точка на окружности, $$C$$ - вторая точка пересечения секущей с окружностью.
• По теореме о касательной и секущей: $$PA^2 = PB · PC$$.
• $$4^2 = 9 · PC$$.
• $$16 = 9 · PC$$.
• $$PC = \frac{16}{9}$$.
• Отрезок секущей, находящийся внутри окружности, равен $$BC = PB - PC = 9 - \frac{16}{9} = \frac{81 - 16}{9} = \frac{65}{9}$$.

Ответ: 65/9