3. Докажите равенство sin 2α = 2tgα / (1 + tg²α), если α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.

1. Преобразуем правую часть равенства: 2tgα / (1 + tg²α) = 2(sin α / cos α) / (1 + sin²α / cos²α).
2. Приведем к общему знаменателю в знаменателе: 2(sin α / cos α) / ((cos²α + sin²α) / cos²α).
3. Учитывая, что cos²α + sin²α = 1, получаем: 2(sin α / cos α) / (1 / cos²α) = 2(sin α / cos α) * cos²α = 2 sin α cos α = sin 2α. Доказано.