25. Тип 25 № 340359 В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рис.). Докажите, что BFDE — параллелограмм.

1. В прямоугольных треугольниках ABE и CDF, AB = CD (противоположные стороны параллелограмма), ∠AEB = ∠CFD = 90° (по построению), ∠BAE = ∠DCF (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).

2. Следовательно, треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда AE = CF.

3. Так как ABCD — параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда AO = OC. Так как AE = CF, то OE = OF и OB = OD.

4. В четырехугольнике BFDE диагонали BE и DF пересекаются в точке O, которая делит их пополам (OB = OD и OE = OF). Следовательно, BFDE — параллелограмм.