20. Решить уравнение (х-2)²(х-3)² = 20

Решение:

Уравнение можно переписать следующим образом:

1. $$((x-2)(x-3))^2 = 20$$
2. Раскроем скобки во внутреннем выражении: $$(x^2 - 3x - 2x + 6)^2 = 20$$
3. $$(x^2 - 5x + 6)^2 = 20$$
4. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$x^2 - 5x + 6 = \sqrt{20}$$ или $$x^2 - 5x + 6 = -\sqrt{20}$$
5. $$x^2 - 5x + 6 = 2\sqrt{5}$$ или $$x^2 - 5x + 6 = -2\sqrt{5}$$

Рассмотрим каждое из полученных квадратных уравнений:

Уравнение 1: $$x^2 - 5x + (6 - 2\sqrt{5}) = 0$$

1. Дискриминант: $$D_1 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 - 2\sqrt{5}) = 25 - 24 + 8\sqrt{5} = 1 + 8\sqrt{5}$$
2. Корни: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1 + 8\sqrt{5}}}{2}$$

Уравнение 2: $$x^2 - 5x + (6 + 2\sqrt{5}) = 0$$

1. Дискриминант: $$D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6 + 2\sqrt{5}) = 25 - 24 - 8\sqrt{5} = 1 - 8\sqrt{5}$$
2. Так как $$8\sqrt{5} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{320}$$, а $$1 = \sqrt{1}$$, то $$1 - 8\sqrt{5} < 0$$. Следовательно, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{1 + 8\sqrt{5}}}{2}$$