20. Отрезки AB и CD пересекаются в точке О. Отрезки СО и OD равны, угол АСО равен 90°, угол BDO равен 90°. Докажите, что ∆ AOC=∆BOD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).

Нам дано:

• \( CO = OD \) (по условию)
• \( \angle ACO = 90^{\circ} \) (по условию), значит \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) являются смежными с прямыми углами, если точка О лежит на AC и BD соответственно, но это не следует из условия. Правильнее рассмотреть углы \( \angle ACO \) и \( \angle BDO \) как углы при основании или углы треугольников.
• \( \angle BDO = 90^{\circ} \) (по условию)

Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOD \) являются вертикальными, следовательно, они равны:

\( \angle AOC = \angle BOD \)

В треугольниках \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \) мы имеем:

• \( CO = OD \) (по условию)
• \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы)

Чтобы применить первый признак равенства треугольников, нам нужны равные стороны, прилежащие к этим углам, или равные углы, прилежащие к равным сторонам.

Однако, нам даны прямые углы \( \angle ACO = 90^{\circ} \) и \( \angle BDO = 90^{\circ} \).

Если \( \angle ACO = 90^{\circ} \), то \( AC \) перпендикулярен \( CO \).

Если \( \angle BDO = 90^{\circ} \), то \( BD \) перпендикулярен \( OD \).

Поскольку \( CO = OD \) и \( \angle ACO = \angle BDO = 90^{\circ} \), и \( \angle AOC = \angle BOD \) (вертикальные углы), то мы имеем равенство треугольников по второму признаку равенства треугольников (сторона и два прилежащих к ней угла), если рассмотреть углы \( \angle CAO \) и \( \angle DBO \).

У нас есть:

• Сторона \( CO = OD \)
• Прилежащий угол \( \angle AOC = \angle BOD \)
• Прилежащий угол \( \angle ACO = \angle BDO = 90^{\circ} \)

Следовательно, \( \triangle AOC = \triangle BOD \) по второму признаку равенства треугольников.

Что и требовалось доказать.