19. Равные отрезки AB и CD точкой пересечения М делятся пополам. Докажите равенство треугольников АМС и BMD.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMD \).

Нам дано:

• Отрезки \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( M \).
• \( AB = CD \) (по условию).
• Точка \( M \) делит отрезки \( AB \) и \( CD \) пополам.

Из того, что \( M \) делит \( AB \) пополам, следует:

\( AM = MB = \frac{1}{2} AB \)

Из того, что \( M \) делит \( CD \) пополам, следует:

\( CM = MD = \frac{1}{2} CD \)

Поскольку \( AB = CD \), то и половинки этих отрезков равны: \( AM = MB = CM = MD \).

Углы \( \angle AMC \) и \( \angle BMD \) являются вертикальными. Вертикальные углы равны.

\( \angle AMC = \angle BMD \)

Теперь у нас есть:

• \( AM = BM \) (из равенства половинок отрезков)
• \( CM = DM \) (из равенства половинок отрезков)
• \( \angle AMC = \angle BMD \) (вертикальные углы)

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AMC = \triangle BMD \).

Что и требовалось доказать.