2) В записи числа 41*5673* поставь вместо звездочек цифры так, чтобы получилось число: а) кратное 2; б) кратное 3; в) кратное 5; г) кратное 10; д) кратное 9; е) кратное 2 и 3.

Задание 2. Делимость чисел

Будем подставлять цифры вместо звездочек, чтобы получить число, кратное указанным числам. Нам дано число 41*5673*. Обозначим неизвестные цифры как \(x\) и \(y\), так что число выглядит как \(41x5673y\).

а) Число кратно 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Значит, \(y\) может быть любой из этих цифр.

Пример: 41056732

б) Число кратно 3, если сумма его цифр кратна 3. Сумма цифр = \(4+1+x+5+6+7+3+y = 26 + x + y\). Чтобы сумма была кратна 3, \(x+y\) должно быть таким, чтобы \(26 + x + y\) делилось на 3. Например, если \(x=1, y=2\), сумма = \(26+1+2=29\) (не делится). Если \(x=0, y=1\), сумма = \(26+0+1=27\) (делится).

Пример: 41056731

в) Число кратно 5, если его последняя цифра 0 или 5. Значит, \(y\) может быть 0 или 5.

Пример: 41056730

г) Число кратно 10, если его последняя цифра 0. Значит, \(y=0\).

Пример: 41056730

д) Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Сумма цифр = \(26 + x + y\). Чтобы сумма была кратна 9, \(x+y\) должно быть таким, чтобы \(26 + x + y\) делилось на 9. Например, если \(x=2, y=1\), сумма = \(26+2+1=29\) (не делится). Если \(x=1, y=2\), сумма = \(26+1+2=29\) (не делится). Если \(x=0, y=1\), сумма = \(26+0+1=27\) (делится).

Пример: 41056731 (сумма 27)

е) Число кратно 2 и 3, значит, оно кратно 6. Для кратности 2 \(y\) должно быть четным. Для кратности 3 сумма цифр \(26+x+y\) должна делиться на 3. Ищем \(x\) и \(y\), чтобы \(y\) было четным, а \(26+x+y\) делилось на 3.

Пример: Возьмем \(y=0\) (четное). Тогда сумма \(26+x+0 = 26+x\). Чтобы \(26+x\) делилось на 3, \(x\) может быть 1 (сумма 27) или 4 (сумма 30) или 7 (сумма 33).

Пример: 41156730

Ответ:

а) Последняя цифра \(y\) должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8). Первая звездочка \(x\) может быть любой цифрой. Пример: 41056732.

б) Сумма цифр \(26 + x + y\) должна делиться на 3. Пример: 41056731 (сумма 27).

в) Последняя цифра \(y\) должна быть 0 или 5. Пример: 41056730.

г) Последняя цифра \(y\) должна быть 0. Пример: 41056730.

д) Сумма цифр \(26 + x + y\) должна делиться на 9. Пример: 41056731 (сумма 27).

е) Число кратно 2 (\(y\) - четное) и 3 (сумма \(26+x+y\) делится на 3). Пример: 41156730.