19. Если двузначное число разделить на число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получится 4, а в остатке 3. Если же это число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8, а в остатке 7. Найдите это число.

Решение:

Пусть искомое двузначное число имеет вид \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц, \( a \neq 0 \).

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \( 10b + a \).

По условию задачи имеем два уравнения:

1. \( 10a + b = 4(10b + a) + 3 \)
2. \( 10a + b = 8(a + b) + 7 \)

Раскроем скобки и упростим уравнения:

1. \( 10a + b = 40b + 4a + 3 \)
• \( 6a - 39b = 3 \)
• \( 2a - 13b = 1 \) (Разделили на 3)
2. \( 10a + b = 8a + 8b + 7 \)
• \( 2a - 7b = 7 \)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} 2a - 13b = 1 \\ 2a - 7b = 7 \end{cases} \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (2a - 13b) - (2a - 7b) = 1 - 7 \)

\( -6b = -6 \)

\( b = 1 \)

Подставим \( b = 1 \) в любое из уравнений, например, во второе:

\( 2a - 7(1) = 7 \)

\( 2a - 7 = 7 \)

\( 2a = 14 \)

\( a = 7 \)

Таким образом, искомое число — 71.

Проверим:

71 : 17 = 4 (ост. 3) (верно)

71 : (7+1) = 71 : 8 = 8 (ост. 7) (верно)

Ответ: 71