18. В треугольнике ABC углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой В и биссектрисой В.

Решение:

1. Найдем угол B в треугольнике ABC: \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} \).
2. Биссектриса BD делит угол B пополам: \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (где BH — высота). В нем \( \angle BAH = 40^{\circ} \).
4. Найдем угол ABH: \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAH = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
5. Угол между высотой BH и биссектрисой BD равен разности углов ABH и ABD:
6. \( \angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: 10°