166 Сравните числа:

Задание 166. Сравните числа:

а) \( C_5^2 \) и \( C_5^3 \)

Сначала вычислим каждое значение:

\[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \]Или, используя свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \), мы видим, что \( C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2 \).

Ответ: \( C_5^2 = C_5^3 \)

б) \( C_7^2 \) и \( C_7^5 \)

Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

\[ C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2 \]

Ответ: \( C_7^2 = C_7^5 \)

в)* \( C_{21}^1 \) и \( C_{20}^1 \)

Сначала вычислим каждое значение:

\[ C_{21}^1 = \frac{21!}{1!(21-1)!} = \frac{21!}{1!20!} = 21 \]\[ C_{20}^1 = \frac{20!}{1!(20-1)!} = \frac{20!}{1!19!} = 20 \]

Ответ: \( C_{21}^1 > C_{20}^1 \)

г)* \( C_{12}^5 \) и \( C_{12}^7 \)

Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \):

\[ C_{12}^7 = C_{12}^{12-7} = C_{12}^5 \]

Ответ: \( C_{12}^5 = C_{12}^7 \)