16. В окружности с центром О отрезки АС и BD — диаметры. Величина центрального угла АOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дано: \( △ AOD \) — центральный угол, \( ∠ AOD = 110^\circ \). \( AC \) и \( BD \) — диаметры.

Нужно найти вписанный угол \( ∠ ACB \).

1. Центральный угол \( ∠ AOD = 110^\circ \) опирается на дугу \( AD \).
2. Величина дуги \( AD \) равна величине центрального угла, который на неё опирается: \( \text{дуга } AD = 110^\circ \).
3. Угол \( ∠ ABD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AD \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \( ∠ ABD = \frac{1}{2} \text{дуга } AD = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ \).
4. \( AC \) — диаметр, значит, \( ∠ ABC \) — развёрнутый угол, равный 180°, но это не поможет.
5. \( AC \) и \( BD \) — диаметры, пересекающиеся в точке \( O \). Углы \( ∠ AOD \) и \( ∠ BOC \) — вертикальные, поэтому \( ∠ BOC = ∠ AOD = 110^\circ \).
6. Угол \( ∠ BOC = 110^\circ \) — центральный, опирается на дугу \( BC \). Значит, \( \text{дуга } BC = 110^\circ \).
7. Угол \( ∠ BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \). \( ∠ BAC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \times 110^\circ = 55^\circ \).
8. \( AC \) — диаметр, поэтому угол \( ∠ ABC \) является вписанным и опирается на полуокружность, значит \( ∠ ABC = 90^\circ \).
9. Рассмотрим треугольник \( △ ABC \). Сумма углов в треугольнике равна 180°.
10. \( ∠ ACB = 180^\circ - ∠ ABC - ∠ BAC \)
11. \( ∠ ACB = 180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \).

Ответ: 35^\(\circ\).