16. ⁸√97-56√3

Решение:

Представим \( 56\sqrt{3} \) как \( 2 x 28 \sqrt{3} = 2 \sqrt{28^2 x 3} = 2 \sqrt{784 x 3} = 2\sqrt{2352} \).

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=97 \) и \( ab=2352 \).

Разложим 2352 на множители: \( 2352 = 2^4 x 3 x 7^2 = 16 x 3 x 49 = 48 x 49 \).

Сумма \( 48+49=97 \). Нашли! \( a=49, b=48 \).

Значит, \( \sqrt{97-56\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{49}-\sqrt{48})^2} = \sqrt{49} - \sqrt{48} = 7 - 4\sqrt{3} \>.

Теперь извлекаем корень восьмой степени:

\[ \sqrt[8]{(7-4\sqrt{3})^2} = \sqrt[4]{|7-4\sqrt{3}|} \]

Так как \( 7 = \sqrt{49} \) и \( 4\sqrt{3} = \sqrt{48} \), то \( 7 > 4\sqrt{3} \), следовательно \( 7-4\sqrt{3} > 0 \).

\[ \sqrt[4]{7-4\sqrt{3}} \]

Представим \( 4\sqrt{3} \) как \( 2 \sqrt{4 x 3} = 2\sqrt{12} \).

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=7 \) и \( ab=12 \). Это \( a=4, b=3 \).

\[ \sqrt[4]{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})} = \sqrt{2-\sqrt{3}} \]

Умножим числитель и знаменатель под корнем на 2:

\[ \sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} \]

Из предыдущего примера мы знаем, что \( \sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1 \).

\[ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \]