15. ⁴√28-16√3

Решение:

Представим \( 16\sqrt{3} \) как \( 2 \cdot 8 \sqrt{3} = 2 \sqrt{64 \cdot 3} = 2\sqrt{192} \).

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=28 \) и \( ab=192 \).

Подбираем множители для 192: 1 и 192 (сумма 193), 2 и 96 (сумма 98), 3 и 64 (сумма 67), 4 и 48 (сумма 52), 6 и 32 (сумма 38), 8 и 24 (сумма 32), 12 и 16 (сумма 28). Нашли! \( a=16, b=12 \).

Значит, \( \sqrt{28-16\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{16}-\sqrt{12})^2} = \sqrt{16} - \sqrt{12} = 4 - 2\sqrt{3} \).

Теперь извлекаем корень четвертой степени:

\[ \sqrt[4]{(4-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{|4-2\sqrt{3}|} \]

Так как \( 4 = \sqrt{16} \) и \( 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \), то \( 4 > 2\sqrt{3} \), следовательно \( 4-2\sqrt{3} > 0 \).

\[ \sqrt{4-2\sqrt{3}} \]

Снова применим метод из пункта 11:

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=4 \) и \( ab=3 \). Это \( a=3, b=1 \).

\[ \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{1})^2} = \sqrt{3}-1 \]