13.√29-12√5 - √29+12√5

Решение:

Рассмотрим отдельно каждый корень.

Первый корень: \( \sqrt{29-12\sqrt{5}} \).

Представим \( 12\sqrt{5} \) как \( 2 \cdot 6 \sqrt{5} = 2 \sqrt{36 \cdot 5} = 2\sqrt{180} \).

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=29 \) и \( ab=180 \).

Подбираем множители для 180: 1 и 180 (сумма 181), 2 и 90 (сумма 92), 3 и 60 (сумма 63), 4 и 45 (сумма 49), 5 и 36 (сумма 41), 6 и 30 (сумма 36), 9 и 20 (сумма 29). Нашли! \( a=20, b=9 \).

Значит, \( \sqrt{29-12\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{20}-\sqrt{9})^2} = \sqrt{20} - \sqrt{9} = 2\sqrt{5} - 3 \).

Второй корень: \( \sqrt{29+12\sqrt{5}} \).

Аналогично, \( \sqrt{29+12\sqrt{5}} = \sqrt{\(\sqrt{20}+\sqrt{9}\)^2} = \(\sqrt{20}\) + \(\sqrt{9}\) = 2\(\sqrt{5}\) + 3 \>.

Теперь вычтем:

\[ (2\sqrt{5}-3) - (2\sqrt{5}+3) = 2\sqrt{5} - 3 - 2\sqrt{5} - 3 = -6 \]