13. Отрезок длиной 10 см состоит из четырех неравных частей. Расстояние между серединами средних частей равно 3 см. Найдите расстояние между серединами крайних частей.

Решение:

Пусть отрезок AB длиной 10 см состоит из четырех неравных частей: AC, CD, DE, EB.

Пусть M — середина AC, N — середина CD, P — середина DE, Q — середина EB.

По условию, расстояние между серединами средних частей (N и P) равно 3 см, то есть NP = 3 см.

Так как N — середина CD, то CN = ND = \( \frac{1}{2} CD \).

Так как P — середина DE, то DP = PE = \( \frac{1}{2} DE \).

Тогда \( NP = ND + DP = \frac{1}{2} CD + \frac{1}{2} DE = \frac{1}{2} (CD + DE) \).

Следовательно, \( CD + DE = 2 × NP = 2 × 3 \text{ см} = 6 \text{ см} \).

Расстояние между серединами крайних частей (M и Q) равно MQ.

\( MQ = MC + CN + ND + DP + PE \)

\( MQ = MC + CD + DE + EB \)

\( MQ = AC + CD + DE + EB \)

\( MQ = AB \)

В этой задаче предполагается, что M, N, P, Q — середины отрезков, образующих отрезок AB. Тогда \( MN = MC + CN = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} CD \)

\( PQ = DP + PE = \frac{1}{2} DE + \frac{1}{2} EB \)

\( NP = 3 \text{ см} \)

\( AB = 10 \text{ см} \)

Пусть части равны \( a, b, c, d \), тогда \( a+b+c+d = 10 \). Середины средних частей: \( a + \frac{b}{2} \) и \( a+b+c+\frac{d}{2} \). Расстояние между ними \( (a+b+c+\frac{d}{2}) - (a+\frac{b}{2}) = c + \frac{d}{2} - \frac{b}{2} = 3 \). Это сложно.

Рассмотрим иначе. Пусть отрезок состоит из частей \( a, b, c, d \). Его длина \( a+b+c+d = 10 \).

Середина первой части находится на расстоянии \( \frac{a}{2} \) от начала.

Середина второй части находится на расстоянии \( a + \frac{b}{2} \).

Середина третьей части находится на расстоянии \( a + b + \frac{c}{2} \).

Середина четвертой части находится на расстоянии \( a + b + c + \frac{d}{2} \).

Расстояние между серединами средних частей (2-й и 3-й):

\( (a + b + \frac{c}{2}) - (a + \frac{b}{2}) = b + \frac{c}{2} - \frac{b}{2} = \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{b+c}{2} = 3 \).

Значит, \( b+c = 6 \text{ см} \).

Расстояние между серединами крайних частей (1-й и 4-й):

\( (a + b + c + \frac{d}{2}) - \frac{a}{2} = \frac{a}{2} + b + c + \frac{d}{2} \).

Мы знаем, что \( a+b+c+d = 10 \). Заменим \( b+c = 6 \):

\( a + 6 + d = 10 \)

\( a + d = 4 \text{ см} \).

Теперь подставим \( a+d=4 \) и \( b+c=6 \) в выражение для расстояния между серединами крайних частей:

\( \frac{a}{2} + b + c + \frac{d}{2} = \frac{a}{2} + \frac{d}{2} + (b+c) = \frac{a+d}{2} + (b+c) \)

\( \frac{4}{2} + 6 = 2 + 6 = 8 \text{ см} \).

Ответ: 8 см.