13 Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Решение:

1. Противоположный вектор:

• Вектор, противоположный данному вектору a, — это вектор, имеющий ту же длину, что и a, но противоположное направление. Он обозначается как -a.

2. Теорема о разности векторов:

• Формулировка: Разность двух векторов равна сумме первого вектора и вектора, противоположного второму.
• Формула: a - b = a + (-b)
• Доказательство:
• По определению разности векторов, вектор c = a - b таков, что c + b = a.
• Рассмотрим выражение a + (-b).
• Пусть d = a + (-b). По правилу сложения векторов (треугольника или параллелограмма), это вектор, идущий от начала a к концу (-b).
• Если мы сложим вектор d и вектор b, то получим: d + b = (a + (-b)) + b.
• Используя сочетательный закон сложения векторов: a + (-b + b).
• Так как -b + b = 0 (сумма противоположных векторов равна нулевому вектору), то выражение становится: a + 0 = a.
• Таким образом, мы получили, что d + b = a.
• По определению разности векторов, это означает, что d = a - b.
• Следовательно, a - b = a + (-b).

Ответ: Противоположный вектор имеет ту же длину и противоположное направление. Теорема гласит: разность векторов a - b равна сумме a + (-b).