Теорема о средней линии трапеции:

Формулировка:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их длин.

Доказательство (с использованием векторов):

Обозначения:

Пусть ABCD — трапеция, где AB || CD.
Пусть BC и AD — боковые стороны.
Пусть M — середина боковой стороны AB, N — середина боковой стороны CD.
Нужно доказать, что MN || AB (и MN || CD), и |MN| = (|AB| + |CD|) / 2.

Векторное представление:

Пусть точка A — начало координат.
AB = b, AC = c, AD = d.
Так как AB || CD, то вектор CD коллинеарен вектору AB. Можно записать CD = k * AB = k * b для некоторого числа k.
Тогда BD = AD - AB = d - b.
BC = AC - AB = c - b.
CD = AD - AC = d - c.

Средняя линия MN:

M — середина AB, значит, AM = 1/2 AB = 1/2 b.
N — середина CD. Чтобы найти AN, нужно:
AN = AC + CN.
CN = 1/2 CD = 1/2 (d - c).
AN = c + 1/2 (d - c) = c + 1/2 d - 1/2 c = 1/2 c + 1/2 d = 1/2 (c + d).
Теперь найдем вектор MN:
MN = AN - AM = (1/2 c + 1/2 d) - (1/2 b) = 1/2 (c + d - b).

Сравнение с основаниями:

Рассмотрим вектор AB = b и вектор CD = d - c.
Снова пересмотр обозначений для большей ясности:

Пусть A — начало координат.
AB = a (вектор нижнего основания).
CD = b (вектор верхнего основания).
Так как AB || CD, то a и b коллинеарны, но для общей трапеции они могут быть направлены в одну сторону.
Пусть AB = p (вектор одного основания).
Пусть CD = kp (вектор другого основания, где k — число).
Пусть AC = q.
Тогда AD = q + kp.
M — середина AB: AM = 1/2 p.
N — середина CD: CN = 1/2 (kp).
AN = AC + CN = q + 1/2 kp.
MN = AN - AM = (q + 1/2 kp) - (1/2 p) = q + 1/2 p(k - 1).

Здесь все еще сложно. Проще использовать свойство средней линии, которая параллельна основаниям.

Альтернативное доказательство (геометрическое с использованием векторов):

Пусть M и N — середины боковых сторон AB и CD соответственно.
Рассмотрим векторы MN, AB и CD.
MN = MA + AC + CN
MA = -1/2 AB
CN = 1/2 CD
MN = -1/2 AB + AC + 1/2 CD
MN = AC + 1/2 (CD - AB).
Так как AB и CD параллельны (лежат на параллельных прямых), то вектор CD - AB также будет коллинеарен им.
Следовательно, вектор MN, который равен AC плюс коллинеарный вектор, будет параллелен основаниям, если AC параллелен основаниям, что не всегда так.

Классическое векторное доказательство:

Пусть A — начало координат.
AB = a, AD = d.
AC = c.
BC = c - a.
CD = d - c.
M — середина AB: AM = 1/2 a.
N — середина CD: AN = AC + 1/2 CD = c + 1/2 (d - c) = 1/2 c + 1/2 d.
MN = AN - AM = (1/2 c + 1/2 d) - 1/2 a = 1/2 (c + d - a).
Сравним MN с основаниями AB = a и CD = d - c.
MN = 1/2 (c + d - a).
Пусть a и b — векторы оснований, а c — вектор, соединяющий начала оснований.
a = AB, b = CD.
MN = 1/2 (a + b).
Если векторы оснований a и b имеют одинаковое направление (например, оба направлены вправо), то вектор a + b будет направлен в ту же сторону.
Значит, MN будет параллелен основаниям.
Длина |MN| = 1/2 |a + b| = 1/2 (|a| + |b|) (так как a и b коллинеарны и сонаправлены).

Ответ: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна полусумме их длин. Векторное доказательство показывает, что вектор средней линии равен половине суммы векторов оснований, что подтверждает его параллельность и длину.

Поделись с друзьями