12. Решите систему: { 2x + 2y = 7, 5^(3x-2y-3) = 1 }

Решение:

1. Рассмотрим второе уравнение системы: \( 5^{3x-2y-3} = 1 \).
2. Так как любое число в степени 0 равно 1, мы можем записать:
3. \( 5^{3x-2y-3} = 5^0 \)
4. Следовательно, показатели степеней равны:
5. \( 3x - 2y - 3 = 0 \)
6. \( 3x - 2y = 3 \)
7. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
8. \( \begin{cases} 2x + 2y = 7 \ 3x - 2y = 3 \end{cases} \)
9. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \( y \):
10. \( (2x + 2y) + (3x - 2y) = 7 + 3 \)
11. \( 2x + 3x + 2y - 2y = 10 \)
12. \( 5x = 10 \)
13. \( x = \frac{10}{5} \)
14. \( x = 2 \)
15. Подставим значение \( x=2 \) в первое уравнение системы (или во второе, преобразованное):
16. \( 2(2) + 2y = 7 \)
17. \( 4 + 2y = 7 \)
18. \( 2y = 7 - 4 \)
19. \( 2y = 3 \)
20. \( y = \frac{3}{2} \)
21. \( y = 1.5 \)
22. Проверим найденные значения во втором, исходном уравнении: \( 5^{3(2)-2(1.5)-3} = 5^{6-3-3} = 5^0 = 1 \). Решение верно.

Ответ: \( x = 2, y = 1.5 \).