11. Решите уравнение $$(1 + cosx)(\sqrt{2sinx} - 1) = 0$$

Решение:

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим первый множитель: \( 1 + cosx = 0 \)

\( cosx = -1 \)

\( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Рассмотрим второй множитель: \( \sqrt{2sinx} - 1 = 0 \)

\( \sqrt{2sinx} = 1 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( 2sinx = 1 \)

\( sinx = \frac{1}{2} \)

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, m \) — целые числа.

Проверим условие \( 2sinx \ge 0 \) для корня. Так как \( sinx = 1/2 \), то \( 2sinx = 2(1/2) = 1 \ge 0 \), условие выполняется.

Таким образом, решениями являются:

\( x = \pi + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \)

\( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( k, n, m \) — целые числа.

Ответ: \( x = \pi + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \) (где \( k, n, m \) — целые числа).