12. Летящий снаряд был обнаружен прибором наблюдения, который зафиксировал его го- ризонтальную координату х₁ и высоту п₁ = 1655 м над землёй (см. рис.). Через 3 с снаряд упал на землю и взорвался на расстоянии 1 = 1700 м от места его обнаруже- ния. Чему равнялось время полёта снаряда от пушки до места взрыва, если считать, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало? Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали. h₁ X1 Прибор наблюдения A Б 36

Решение:

Пушка и место взрыва находятся на одной горизонтали, значит, начальная и конечная высота снаряда равны 0. Движение снаряда — это параболическое движение под действием силы тяжести.

1. Определим вертикальную составляющую скорости снаряда.
   В момент обнаружения прибором, снаряд находился на высоте \( h_1 = 1655 \) м. Через \( \Delta t = 3 \) с снаряд упал на землю. Используем формулу для вертикальной координаты: \( y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_yt^2}{2} \). В нашем случае \( y_0 = h_1 \), \( a_y = -g \).
   \( y(\Delta t) = h_1 + v_{0y}\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2} \).
   Так как \( y(\Delta t) = 0 \) (снаряд упал на землю), то:
   \( 0 = 1655 + v_{0y} ∙ 3 - \frac{9.8 ∙ 3^2}{2} \)
   \( 0 = 1655 + 3v_{0y} - \frac{9.8 ∙ 9}{2} \)
   \( 0 = 1655 + 3v_{0y} - 44.1 \)
   \( 3v_{0y} = 44.1 - 1655 \)
   \( 3v_{0y} = -1610.9 \)
   \( v_{0y} = \frac{-1610.9}{3} \approx -536.97 \) м/с.
   Знак минус означает, что вертикальная составляющая начальной скорости направлена вниз.
2. Определим горизонтальную составляющую скорости снаряда.
   Прибор зафиксировал снаряд на горизонтальной координате \( x_1 \) и на высоте \( h_1 \). Через 3 секунды снаряд упал на расстоянии \( l = 1700 \) м от места обнаружения. Это означает, что за 3 секунды снаряд пролетел по горизонтали \( l - x_1 = 1700 - x_1 \). Однако, это не совсем точно. Нужно использовать факт, что снаряд упал через 3 секунды.
3. Переосмыслим условие:
   В момент времени \( t_1 \) (момент обнаружения) координата снаряда \( x(t_1) = x_1 \), \( y(t_1) = h_1 = 1655 \) м. Через 3 секунды, то есть в момент времени \( t_1 + 3 \), снаряд упал на землю \( y(t_1 + 3) = 0 \) на расстоянии \( l = 1700 \) м от места обнаружения. Это расстояние \( l \) — это горизонтальное перемещение за время \( 3 \) с.
4. Найдем горизонтальную составляющую скорости.
   Горизонтальная составляющая скорости \( v_{0x} \) постоянна, так как сопротивлением воздуха пренебрегают.
   \( l = v_{0x} ∙ (3 ∅) \)
   \( 1700 ∅ = v_{0x} ∙ 3 ∅ \)
   \( v_{0x} = \frac{1700}{3} ∅/с \approx 566.67 \) м/с.
5. Найдем время полёта от пушки до места взрыва.
   Общее время полёта \( T \) до места взрыва (на нулевой высоте) можно найти, используя вертикальную составляющую начальной скорости \( v_{0y} \) (относительно пушки) и ускорение свободного падения \( g \).
   Из уравнения \( y(T) = y_0 + v_{0y}T - \frac{gT^2}{2} \), где \( y_0 = 0 \) (пушка и место взрыва на одной горизонтали) и \( y(T) = 0 \).
   \( 0 = 0 + v_{0y}T - \frac{gT^2}{2} \).
   Так как \( T \neq 0 \), то \( v_{0y} = \frac{gT}{2} \).
6. Свяжем скорости.
   Вертикальная составляющая скорости в момент времени \( t_1 \) (обнаружения) равна:
   \( v_y(t_1) = v_{0y} - gt_1 \).
   Мы знаем, что \( y(t_1) = h_1 \), то есть:
   \( h_1 = v_{0y}t_1 - \frac{gt_1^2}{2} \).
7. Используем информацию о падении через 3 секунды.
   Мы нашли \( v_{0y} ≈ -536.97 \) м/с (скорость в момент обнаружения, направленная вниз). Этот \( v_{0y} \) — это скорость в момент обнаружения, а не начальная скорость от пушки.
8. Давайте подойдем иначе.
   Пусть \( t_{пушки} \) — время полета от пушки до момента обнаружения.
   Тогда время падения с высоты \( h_1 \) до земли составляет 3 с. Скорость в момент обнаружения \( v_y(t_{пушки}) \).
   \( h_1 = v_y(t_{пушки}) ∙ 3 - \frac{g(3)^2}{2} \).
   \( 1655 = v_y(t_{пушки}) ∙ 3 - 4.9 ∙ 9 \)
   \( 1655 = 3 v_y(t_{пушки}) - 44.1 \)
   \( 3 v_y(t_{пушки}) = 1655 + 44.1 = 1699.1 \)
   \( v_y(t_{пушки}) = \frac{1699.1}{3} ≈ 566.37 \) м/с. Это скорость в момент обнаружения, направленная вниз.
   
9. Найдем общее время полета.
   Общее время полёта \( T \) — это время от пушки до земли. Скорость в момент обнаружения \( v_y(t_{пушки}) \).
   Начальная скорость от пушки \( v_{0y} \).
   \( v_y(t_{пушки}) = v_{0y} - gt_{пушки} \).
   Мы знаем, что \( h_1 = v_{0y}t_{пушки} - \frac{gt_{пушки}^2}{2} \).
   Также \( v_y(t_{пушки}) \) - это скорость в точке \( (x_1, h_1) \).
   Время полёта до этой точки \( t_{пушки} \).
   Падение с \( h_1 \) до \( 0 \) заняло 3 секунды. В момент \( t_{пушки} \) скорость была \( v_y(t_{пушки}) \).
   \( v_{y,земля} = v_y(t_{пушки}) - g ∙ 3 \).
   Скорость в момент падения на землю (без начальной скорости от пушки, если бы она летела только вниз) была бы \( v_y(t_{пушки}) - 9.8 ∙ 3 \).
   Однако, это скорость в момент обнаружения.
10. Попробуем иначе:
    Пусть \( T \) — полное время полета от пушки до места взрыва (на нулевой высоте).
    Тогда \( y(T) = 0 \).
    \( h_1 = 1655 \) м, \( l = 1700 \) м.
    Через \( 3 \) секунды снаряд упал. Это значит, что в момент обнаружения \( t_1 \) снаряд находился на высоте \( h_1 \), и ему осталось лететь \( 3 \) секунды.
    Пусть \( t_{start} \) — время полета от пушки до момента обнаружения.
    Тогда \( T = t_{start} + 3 \).
    Вертикальная координата в момент \( t \) : \( y(t) = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2 \).
    \( h_1 = v_{0y}t_{start} - \frac{1}{2}gt_{start}^2 = 1655 \).
    \( 0 = v_{0y}(t_{start}+3) - \frac{1}{2}g(t_{start}+3)^2 \).
    Из второго уравнения:
    \( v_{0y}(t_{start}+3) = \frac{1}{2}g(t_{start}+3)^2 \)
    \( v_{0y} = \frac{1}{2}g(t_{start}+3) \).
    Подставим в первое уравнение:
    \( 1655 = \frac{1}{2}g(t_{start}+3)t_{start} - \frac{1}{2}gt_{start}^2 \)
    \( 1655 = \frac{1}{2}g(t_{start}^2 + 3t_{start}) - \frac{1}{2}gt_{start}^2 \)
    \( 1655 = \frac{1}{2}gt_{start}^2 + \frac{3}{2}gt_{start} - \frac{1}{2}gt_{start}^2 \)
    \( 1655 = \frac{3}{2}gt_{start} \)
    \( t_{start} = \frac{2 ∙ 1655}{3g} = \frac{3310}{3 ∙ 9.8} = \frac{3310}{29.4} ≈ 112.58 \) с.
11. Полное время полета:
    \( T = t_{start} + 3 = 112.58 + 3 = 115.58 \) с.

Ответ: 115.58 с.