11) Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше другого, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 12 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $$90^\circ$$.
2. Пусть меньший острый угол равен \( x \).
3. Тогда больший острый угол равен \( 2x \).
4. Составляем уравнение: \( x + 2x = 90^\circ \).
5. Решаем: \( 3x = 90^\circ \), \( x = 30^\circ \).
6. Меньший острый угол равен $$30^\circ$$, больший — $$2 \times 30^\circ = 60^\circ$$.
7. В прямоугольном треугольнике, противолежащий углу в $$30^\circ$$ катет равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза равна \( c \), тогда меньший катет \( a = c/2 \).
8. По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 12 см: \( c + a = 12 \).
9. Подставляем \( a = c/2 \): \( c + c/2 = 12 \).
10. Решаем: \( 1.5c = 12 \), \( c = 12 / 1.5 = 8 \) см.
11. Находим меньший катет: \( a = c/2 = 8/2 = 4 \) см.

Ответ: Гипотенуза равна 8 см, меньший катет равен 4 см.