10. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( ∠C = 90° \). CD — высота, CE — биссектриса.

Угол между высотой и биссектрисой \( ∠DCE = 21° \).

Биссектриса делит прямой угол пополам: \( ∠ACE = ∠BCE = 90° / 2 = 45° \).

Рассмотрим треугольник ADC. \( ∠ADC = 90° \). \( ∠ACD = ∠ACE - ∠DCE = 45° - 21° = 24° \). (Это в случае, если биссектриса между высотой и стороной AC).

Случай 1: Биссектриса и высота проведены к гипотенузе. Пусть CD — высота, CE — биссектриса. \( ∠C = 90° \).

Угол между высотой и биссектрисой \( ∠DCE = 21° \).

Известно, что угол между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов треугольника. То есть \( |∠A - ∠B| / 2 = 21° \).

\( |∠A - ∠B| = 42° \).

Также мы знаем, что \( ∠A + ∠B = 90° \).

Рассмотрим два подслучая:

Подслучай 1.1: \( ∠A > ∠B \). Тогда \( ∠A - ∠B = 42° \).

Складываем два уравнения: \( (∠A + ∠B) + (∠A - ∠B) = 90° + 42° \)

\( 2∠A = 132° \)

\( ∠A = 66° \)

\( ∠B = 90° - 66° = 24° \).

Подслучай 1.2: \( ∠B > ∠A \). Тогда \( ∠B - ∠A = 42° \).

Складываем два уравнения: \( (∠A + ∠B) + (∠B - ∠A) = 90° + 42° \)

\( 2∠B = 132° \)

\( ∠B = 66° \)

\( ∠A = 90° - 66° = 24° \).

В обоих случаях острые углы равны \( 66° \) и \( 24° \).

Меньший угол треугольника — это \( 24° \).

Ответ: 24°.