1.30. \(\int\) (1-x)\(2-\sqrt{x}\) dx

Решение:

Сначала раскроем скобки в подынтегральной функции:

\( (1-x)(2-\sqrt{x}) = 1(2-\sqrt{x}) - x(2-\sqrt{x}) \)

\( = 2 - \sqrt{x} - 2x + x\sqrt{x} \)

Перепишем корни в виде степеней:

\( \sqrt{x} = x^{1/2} \)

\( x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2} \)

Выражение принимает вид:

\( 2 - x^{1/2} - 2x + x^{3/2} \)

Теперь проинтегрируем каждый член, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и \( \int c dx = cx + C \):

\( \int (2 - x^{1/2} - 2x + x^{3/2}) dx \)

\( = 2x - \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C \)

\( = 2x - \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2\frac{x^2}{2} + \frac{x^{5/2}}{5/2} + C \)

\( = 2x - \frac{2}{3}x^{3/2} - x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2} + C \)

Ответ: \( 2x - \frac{2}{3}x^{3/2} - x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2} + C \).