1.24. $\int$ $\frac{\sqrt{x^2} + \sqrt[4]{x^3} - \sqrt{x}}{x}$ dx

Question

$Фото задания: 1.24. $\int$ $\frac{\sqrt{x^2} + \sqrt[4]{x^3} - \sqrt{x}}{x}$ dx$ Фото задания

Accepted Answer

Перепишем корни в виде степеней:

$ \sqrt{x^2} = |x| $. Предположим, что $ x > 0 $, тогда $ \sqrt{x^2} = x $.

$ \sqrt[4]{x^3} = x^{3/4} $

$ \sqrt{x} = x^{1/2} $

Интеграл принимает вид:

$ \int \frac{x + x^{3/4} - x^{1/2}}{x} dx $

Разделим каждый член числителя на $ x = x^1 $:

$ \frac{x + x^{3/4} - x^{1/2}}{x} = x^{1-1} + x^{3/4-1} - x^{1/2-1} $

$ = x^0 + x^{-1/4} - x^{-1/2} $

$ = 1 + x^{-1/4} - x^{-1/2} $

Теперь проинтегрируем полученное выражение, используя правило $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ и $ \int 1 dx = x + C $:

$ \int (1 + x^{-1/4} - x^{-1/2}) dx $

$ = x + \frac{x^{-1/4+1}}{-1/4+1} - \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C $

$ = x + \frac{x^{3/4}}{3/4} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C $

$ = x + \frac{4}{3}x^{3/4} - 2x^{1/2} + C $

Ответ: $ x + \frac{4}{3}x^{3/4} - 2x^{1/2} + C $.

1.24. \(\int\) \(\frac{\sqrt{x^2} + \sqrt[4]{x^3} - \sqrt{x}}{x}\) dx