Запишите выражение \( \frac{(x^{-2}+4xy)^2}{y^{-4}+4x^3y^{-3}} - 4x^{-1}y^5 \) в виде несократимой дроби без степеней с отрицательными показателями.

Решение:

Для начала запишем степени с отрицательными показателями в виде дробей:

\( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \)

\( y^{-4} = \frac{1}{y^4} \)

\( y^{-3} = \frac{1}{y^3} \)

\( x^{-1} = \frac{1}{x} \)

Подставим эти значения в выражение:

\( \frac{(\frac{1}{x^2}+4xy)^2}{\frac{1}{y^4}+4x^3 \frac{1}{y^3}} - \frac{4y^5}{x} \)

Приведем числитель первой дроби к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x^2}+4xy = \frac{1 + 4xy
\cdot x^2}{x^2} = \frac{1 + 4x^3y}{x^2} \)

Возведем полученное выражение в квадрат:

\( \left(\frac{1 + 4x^3y}{x^2}\right)^2 = \frac{(1 + 4x^3y)^2}{(x^2)^2} = \frac{(1 + 4x^3y)^2}{x^4} \)

Приведем знаменатель первой дроби к общему знаменателю:

\( \frac{1}{y^4}+4x^3 \frac{1}{y^3} = \frac{1}{y^4}+\frac{4x^3}{y^3} = \frac{1 + 4x^3y}{y^4} \)

Теперь первая дробь выглядит так:

\( \frac{\frac{(1 + 4x^3y)^2}{x^4}}{\frac{1 + 4x^3y}{y^4}} = \frac{(1 + 4x^3y)^2}{x^4} \cdot \frac{y^4}{1 + 4x^3y} \)

Сократим одну скобку \( (1 + 4x^3y) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{(1 + 4x^3y) y^4}{x^4} \)

Теперь вычтем вторую часть выражения: \( \frac{4y^5}{x} \).

\( \frac{(1 + 4x^3y) y^4}{x^4} - \frac{4y^5}{x} \)

Приведем обе дроби к общему знаменателю \( x^4 \):

\( \frac{(1 + 4x^3y) y^4}{x^4} - \frac{4y^5
\cdot x^3}{x^4} = \frac{y^4 + 4x^3y^5 - 4x^3y^5}{x^4} \)

Упростим числитель:

\( \frac{y^4}{x^4} \)

Ответ: \( \frac{y^4}{x^4} \)