Упростите выражение \( \frac{(5x^{-3}y)^{-3} \cdot 25x^2}{xy^{-4}} \).

Решение:

Упростим выражение по шагам:

1. Раскроем скобки в числителе: \( (5x^{-3}y)^{-3} = 5^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot y^{-3} = \frac{1}{5^3} \cdot x^{(-3) \cdot (-3)} \cdot y^{-3} = \frac{1}{125} x^9 y^{-3} \).
2. Теперь всё выражение выглядит так: \( \frac{\frac{1}{125} x^9 y^{-3} \cdot 25x^2}{xy^{-4}} \).
3. Умножим числа в числителе: \( \frac{1}{125} \cdot 25 = \frac{25}{125} = \frac{1}{5} \).
4. Сложим степени с основанием \( x \) в числителе: \( x^9 \cdot x^2 = x^{9+2} = x^{11} \).
5. Теперь числитель: \( \frac{1}{5} x^{11} y^{-3} \).
6. Полное выражение: \( \frac{\frac{1}{5} x^{11} y^{-3}}{xy^{-4}} \).
7. Разделим степени с основанием \( x \): \( \frac{x^{11}}{x} = x^{11-1} = x^{10} \).
8. Разделим степени с основанием \( y \): \( \frac{y^{-3}}{y^{-4}} = y^{-3 - (-4)} = y^{-3+4} = y^1 = y \).
9. Объединим всё: \( \frac{1}{5} x^{10} y \).

Ответ: \( \frac{1}{5} x^{10} y \)