Задание 3. Отрезки АС и BD диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 28°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как \( AC \) — диаметр, то \( \angle ABC = 90^\circ \) (угол, вписанный в полуокружность).

В треугольнике \( ABC \):

\( \angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ \)

Угол \( \angle AOD \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AD \).

Угол \( \angle CBD \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( CD \).

Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( BC \).

Так как \( AC \) и \( BD \) — диаметры, пересекающиеся в центре \( O \), то углы \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC \).

Углы \( \angle BAC \) и \( \angle BDC \) опираются на одну дугу \( BC \), значит \( \angle BDC = \angle BAC = 62^\circ \).

Рассмотрим треугольник \( BOC \). \( OB = OC \) (радиусы), значит, треугольник \( BOC \) равнобедренный.

\( \angle OBC = \angle OCB = 28^\circ \).

\( \angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (28^\circ + 28^\circ) = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ \).

Угол \( \angle AOD \) и \( \angle BOC \) — вертикальные, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC = 124^\circ \).

Ответ: 124.