ЗАДАНИЕ №16 Угол между скрещивающимися прямыми. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA, B, C, D, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами АВ = √3 и ВС = √5. Известно, что СС₁ = 2√3 и что точка М является серединой ребра АА. Найдите косинус угла между прямыми ВМ и С.А.

1. Введем систему координат: A=(0,0,0), B=(√3,0,0), C=(√3,√5,0), D=(0,√5,0), A₁=(0,0,2√3), B₁=(√3,0,2√3), C₁=(√3,√5,2√3), D₁=(0,√5,2√3). M - середина AA₁, значит M=(0,0,√3). 2. Найдем векторы ВМ и C₁A: ВМ = M - B = (-√3, 0, √3). C₁A = A - C₁ = (-√3, -√5, -2√3). 3. Вычислим косинус угла между векторами: cos φ = (ВМ · C₁A) / (|ВМ| · |C₁A|). ВМ · C₁A = (-√3)(-√3) + (0)(-√5) + (√3)(-2√3) = 3 - 6 = -3. |ВМ| = √((-√3)² + 0² + (√3)²) = √6. |C₁A| = √((-√3)² + (-√5)² + (-2√3)²) = √(3 + 5 + 12) = √20 = 2√5. cos φ = -3 / (√6 · 2√5) = -3 / (2√30) = -3√30 / 60 = -√30 / 20. Ответ: -√30 / 20.