Задание 13. Найдите периметр ромба ABCD, используя данные рисунка. 9) BO=3,5, где O — точка пересечения диагоналей; угол BDO равен 60°.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, значит, \(OD=BO=3{,}5\). В прямоугольном треугольнике \(BOD\) угол D равен 60°, а гипотенуза \(BD\) связана с катетом \(BO\) соотношением \(BO=BD\sin60°\).

Следовательно, \(BD=\frac{3.5}{\sin60°}=\frac{7}{\sqrt3}\). В прямоугольном треугольнике \(ABD\) диагональ \(BD\) делит угол B пополам; поскольку угол D ромба равен 120°, угол B равен 60°, а половина угла B — 30°. Тогда \(BD=AB\sin30°\), откуда \(AB=2BD=\frac{14}{\sqrt3}\). Периметр \(P=4AB=\frac{56\sqrt3}{3}\).

Ответ: \(\frac{56\sqrt3}{3}\).