47. 4x-2x+xdx.

47. Выражение для интегрирования имеет вид:

$$\int \frac{4x^4 - 2x^3 + x^2}{x^2} dx$$

Сначала упростим выражение:

$$\int (4x^2 - 2x + 1) dx$$

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

$$\int (4x^2 - 2x + 1) dx = 4 \int x^2 dx - 2\int x dx + \int dx$$

Используя формулу:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Получим:

$$4 \int x^2 dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{4}{3}x^3 + C_1$$

$$2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 + C_2$$

$$\int dx = x + C_3$$

Собираем все вместе:

$$\int (4x^2 - 2x + 1) dx = \frac{4}{3}x^3 - x^2 + x + C$$

Ответ: $$\frac{4}{3}x^3 - x^2 + x + C$$