40. (3√x-x+√a³) dx.

40. Для решения данного интеграла воспользуемся свойствами интегралов:

$$\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$$

$$\int cf(x) dx = c \int f(x) dx$$

а также формулой:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

где C - константа интегрирования.

В нашем случае, интеграл имеет вид:

$$\int (3\sqrt{x} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{a^3}) dx = 3\int \sqrt{x} dx - \frac{2}{5} \int \sqrt[3]{x^2} dx + \sqrt[4]{a^3} \int dx$$

Преобразуем корни в степени:

$$3\int x^{\frac{1}{2}} dx - \frac{2}{5} \int x^{\frac{2}{3}} dx + \sqrt[4]{a^3} \int dx$$

Теперь применим формулу интегрирования для каждого члена:

$$3 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C_1 = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = 2x^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{x^3} + C_1$$

$$\frac{2}{5} \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C_2 = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C_2 = \frac{6}{25} \sqrt[3]{x^5} + C_2$$

$$\sqrt[4]{a^3} \int dx = \sqrt[4]{a^3} x + C_3$$

Собираем все вместе:

$$\int (3\sqrt{x} - \frac{2}{5}\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[4]{a^3}) dx = 2\sqrt{x^3} - \frac{6}{25} \sqrt[3]{x^5} + \sqrt[4]{a^3} x + C$$

Ответ: $$2\sqrt{x^3} - \frac{6}{25} \sqrt[3]{x^5} + \sqrt[4]{a^3} x + C$$