43. Sx³(1+5x)dx.

43. Выражение для интегрирования имеет вид:

$$\int x^3 (1 + 5x) dx$$

Сначала раскроем скобки:

$$\int (x^3 + 5x^4) dx$$

Теперь проинтегрируем полученное выражение:

$$\int (x^3 + 5x^4) dx = \int x^3 dx + 5 \int x^4 dx$$

Используя формулу:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Получим:

$$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_1$$

$$5 \int x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C_2 = x^5 + C_2$$

Собираем все вместе:

$$\int (x^3 + 5x^4) dx = \frac{x^4}{4} + x^5 + C$$

Ответ: $$\frac{x^4}{4} + x^5 + C$$