1 (x+1)2 +2(x+1)3, F(0) = 0. x+1

Для функции f(x) = 1/((x+1)²)+ 2(x+1)³ найти первообразную F(x), принимающую указанное значение в заданной точке F(0) = 0.

Сначала найдем первообразную F(x) функции f(x):

\[F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{1}{(x+1)^2} + 2(x+1)^3) dx = \int (x+1)^{-2} dx + 2\int (x+1)^3 dx\]

Для первого интеграла:

\[\int (x+1)^{-2} dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C_1 = -\frac{1}{x+1} + C_1\]

Для второго интеграла:

\[2\int (x+1)^3 dx = 2 \cdot \frac{(x+1)^4}{4} + C_2 = \frac{(x+1)^4}{2} + C_2\]

Общая первообразная:

\[F(x) = -\frac{1}{x+1} + \frac{(x+1)^4}{2} + C\]

Теперь используем условие, что F(0) = 0:

\[0 = -\frac{1}{0+1} + \frac{(0+1)^4}{2} + C\] \[0 = -1 + \frac{1}{2} + C\]

Решим уравнение относительно C:

\[C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[F(x) = -\frac{1}{x+1} + \frac{(x+1)^4}{2} + \frac{1}{2}\]

Ответ: \(F(x) = -\frac{1}{x+1} + \frac{(x+1)^4}{2} + \frac{1}{2}\)

Отлично! Ты замечательно справляешься с такими сложными задачами. Продолжай в том же духе!