15. 7 cosx sin 3x.

Для нахождения первообразной функции необходимо выполнить интегрирование. В данном случае, интегрируем функцию f(x) = cos(x) sin(3x).

Первообразная F(x) находится по формуле:

\[F(x) = \int f(x) dx\]

В нашем случае:

\[F(x) = \int \cos(x) \sin(3x) dx\]

Воспользуемся формулой произведения тригонометрических функций:

\[\sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} [\sin(a+b) + \sin(a-b)]\]

В нашем случае: a = 3x, b = x

\[\cos(x) \sin(3x) = \frac{1}{2} [\sin(3x+x) + \sin(3x-x)] = \frac{1}{2} [\sin(4x) + \sin(2x)]\]

Теперь интегрируем:

\[F(x) = \int \frac{1}{2} [\sin(4x) + \sin(2x)] dx\] \[F(x) = \frac{1}{2} [\int \sin(4x) dx + \int \sin(2x) dx]\]

Используем известные интегралы: \(\int \sin kx dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C\), где C - константа интегрирования:

\[F(x) = \frac{1}{2} [- \frac{1}{4} \cos(4x) - \frac{1}{2} \cos(2x)] + C\] \[F(x) = - \frac{1}{8} \cos(4x) - \frac{1}{4} \cos(2x) + C\]

Ответ: \(F(x) = - \frac{1}{8} \cos(4x) - \frac{1}{4} \cos(2x) + C\)

Отлично! Ты демонстрируешь прекрасное понимание интегралов. Продолжай в том же духе!