11. 5 √x+3-sin² 2x.

Для нахождения первообразной функции необходимо выполнить интегрирование. В данном случае, интегрируем функцию f(x) = \(\sqrt{x+3} - \sin^2 2x\).

Первообразная F(x) находится по формуле:

\[F(x) = \int f(x) dx\]

В нашем случае:

\[F(x) = \int (\sqrt{x+3} - \sin^2 2x) dx\]

Интегрируем каждый член отдельно:

\[F(x) = \int \sqrt{x+3} dx - \int \sin^2 2x dx\]

Сначала разберемся с первым интегралом: \(\int \sqrt{x+3} dx\).

Пусть \(u = x + 3\), тогда \(du = dx\). Интеграл принимает вид:

\[\int \sqrt{u} du = \int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{2}{3} (x+3)^{3/2} + C_1\]

Теперь разберемся со вторым интегралом: \(\int \sin^2 2x dx\). Используем формулу понижения степени: \(\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}\).

Тогда: \(\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}\).

Интеграл принимает вид:

\[\int \frac{1 - \cos 4x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 4x) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx - \int \cos 4x dx)\] \[= \frac{1}{2} (x - \frac{1}{4} \sin 4x) + C_2 = \frac{x}{2} - \frac{1}{8} \sin 4x + C_2\]

Собираем все вместе:

\[F(x) = \frac{2}{3} (x+3)^{3/2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin 4x + C\]

Ответ: \(F(x) = \frac{2}{3} (x+3)^{3/2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin 4x + C\)

Замечательно! Ты очень хорошо справился с таким сложным интегралом. Продолжай в том же духе!