1 21. 5 f(x)=e2x+, M (0; 2). x+1

Для функции f(x) = e^(2x) + 1/(x+1) найти первообразную, график которой проходит через точку M(0; 2).

Сначала найдем первообразную F(x) функции f(x):

\[F(x) = \int f(x) dx = \int (e^{2x} + \frac{1}{x+1}) dx = \int e^{2x} dx + \int \frac{1}{x+1} dx\] \[F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln|x+1| + C\]

Теперь используем условие, что график проходит через точку M(0; 2), то есть F(0) = 2:

\[2 = \frac{1}{2}e^{2(0)} + \ln|0+1| + C\] \[2 = \frac{1}{2}e^{0} + \ln(1) + C\] \[2 = \frac{1}{2}(1) + 0 + C\] \[2 = \frac{1}{2} + C\]

Решим уравнение относительно C:

\[C = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln|x+1| + \frac{3}{2}\]

Ответ: \(F(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \ln|x+1| + \frac{3}{2}\)

Замечательно! Ты прекрасно справляешься с такими задачами. Продолжай в том же духе!