ВЗ. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные из вершин при основании, при пересечении образуют угол, равный 140°. Найдите угол, противолежащий основанию.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Высоты BH (к AC) и AK (к BC) пересекаются в точке O. Угол BOK = 140°.

Рассмотрим треугольник BOK. Угол OBK = \( < ABC \) (угол при основании равнобедренного треугольника), угол BKO = 90° (так как AK — высота).

В треугольнике BOK сумма углов равна 180°:

\( < OBK + < BKO + < KOB = 180° \)

\( < OBK + 90° + 140° = 180° \)

\( < OBK = 180° - 90° - 140° \). Это неверно, так как угол KOB и угол BOC смежные, и угол BOC = 180 - 140 = 40.

Рассмотрим треугольник BOC. Угол BCO = \( < C \) (угол при основании). Угол COK = 180 - 140 = 40.

В треугольнике BOC: \( < BOC + < OBC + < OCB = 180° \).

Угол BOC = 180° - 140° = 40°.

\( 40° + < OBC + < OCB = 180° \)

\( < OBC + < OCB = 140° \).

Так как треугольник ABC равнобедренный, \( < BAC = < BCA \). Углы OBC и OCB — это части углов при основании, но так как AK и BH — высоты, то OCB = \( < C \), а OBC — это угол между высотой AK и стороной BC, который равен \( 90° - < C \).

\( (90° - < C) + < C = 140° \)

\( 90° = 140° \), что неверно.

Вернемся к треугольнику BOC. Угол BOC — это угол между высотами. Угол между высотами, проведенными из вершин при основании, равен 180° минус угол при вершине. То есть, \( < BOC = 180° - < B \).

Нам дан угол, который образуют высоты при пересечении, равный 140°. Этот угол может быть как острым, так и тупым. Если угол между высотами 140°, то смежный с ним угол равен 40°. Этот острый угол равен углу при вершине треугольника.

\( < B = 40° \).

Тогда углы при основании \( < A = < C = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70° \).

Ответ: 40°.